規則性の問題で、次の数は分かるのに「n番目の数を式で表しなさい」と言われると困ってしまうことはありませんか？
このページでは、丸を並べた図と数列の基本4問を使って、増える数が一定のときに、n番目の式を作る方法を学びます。最初の数と増え方から求める方法に加えて、仮の0番目や一次関数を使う考え方も紹介します。
- n番目の意味と、増やす回数の考え方
- 丸を数える基本3問（教材の問2～4）
- 10、13、16、19……のn番目（教材の問5）
- 0番目・一次関数を使う別の考え方
- 答えを隠して短時間で復習する練習
n番目の数は、どのような数？
\(n\) は、何番目かを表す文字です。\(n=1\) なら1番目、\(n=4\) なら4番目を表します。このページでは、\(n\) は1以上の整数とします。
例えば、n番目の数が \(2n\) なら、1番目は \(2\times1=2\)、4番目は \(2\times4=8\) です。番号を入れ替えるだけで、それぞれの数が求められます。
図の「……」は、同じ並び方が途中にも続いていることを表します。まずは4番目の図や数を見て、「どう数えるか」「何回増やしたか」を説明してから、n番目の式を考えてみましょう。
問2｜丸が1個ずつ増える規則性
次の図のように丸を並べます。\(n\) 番目に並んだ丸の数を、\(n\) を使った式で表しなさい。
1番目は1個、2番目は2個、3番目は3個、4番目は4個です。番号と丸の個数が、そのまま対応しています。
したがって、n番目の丸の数は \(n\) 個です。
「最初の1個に、1個ずつ足す」と考えても求められます。
\(1+1\times(n-1)=1+n-1=n\)（個）
1番目から4番目までに丸を増やすのは3回。1番目からn番目までなら、\(n-1\) 回です。
問3｜丸が2段に並ぶ規則性
次の図のように丸を2段に並べます。\(n\) 番目に並んだ丸の総数を、\(n\) を使った式で表しなさい。
1番目は2個、2番目は4個、3番目は6個、4番目は8個です。
n番目の図では、1段にn個の丸があり、それが2段あります。問2の並びを2つ用意したものと考えれば、
\(n\times2=2n\)（個）
答えは \(2n\) 個です。「n個が2組」「n+n」と説明しても同じです。
最初の2個に、2個ずつ \(n-1\) 回足す方法でも、\(2+2(n-1)=2n\) となります。
問4｜1、3、5、7……と増える規則性
次の図のように、丸の数が1個、3個、5個、7個……と増えていきます。同じ規則で並べたとき、\(n\) 番目の丸の数を、\(n\) を使った式で表しなさい。
問2・問3・問4の個数を比べてみます。
問2のn個を2倍すると、問3の \(2n\) 個になります。問4の丸の数は、問3の個数より1個少なくなっています。
例えば4番目なら、問3は8個、問4は7個です。同じように、n番目では \(2n\) 個より1個少ないので、
\(2n-1\) 個
と表せます。
1番目は1個です。その後は、番号が1つ上がるたびに2個ずつ増えます。
2番目は \(1+2\times1=3\) 個、3番目は \(1+2\times2=5\) 個、4番目は \(1+2\times3=7\) 個です。
n番目までに2個ずつ増やす回数は \(n-1\) 回なので、
\(1+2(n-1)\)
\(=1+2n-2\)
\(=2n-1\)（個）
答えは \(2n-1\) 個です。
式の「1」が最初の個数、「2」が1回に増える個数、「n−1」が増やす回数に対応しています。
2ずつ増える並びを、反対向きに1つ戻ってみます。1番目が1なので、仮の0番目は \(1-2=-1\) です。
0番目からn番目までなら、増やす回数はn回です。したがって、
\(-1+2n=2n-1\)（個）
と求められます。
一次関数を習っている人は、番号を \(x\)、丸の個数を \(y\) として考えることもできます。
番号が1増えると個数が2増えるので、増える数が一定という条件から、対応する点は傾き2の直線上に並びます。
この直線は \(y=2x+b\) と表せます。1番目は1個なので、点 \((1,1)\) を通ります。
\(1=2\times1+b\)
\(b=-1\)
よって \(y=2x-1\)。番号をnとすれば、n番目の丸の数は \(2n-1\) 個です。
2点を通る直線として求めてもよい
1番目・2番目から分かる2点 \((1,1)\)、\((2,3)\) を使う方法もあります。\(y=ax+b\) にそれぞれ代入すると、
\(a+b=1\)
\(2a+b=3\)
この2つの式から \(a=2\)、\(b=-1\) となり、同じ直線 \(y=2x-1\) が求められます。
グラフの縦軸との交点は \((0,-1)\) です。これは、別解1で考えた「仮の0番目が−1」と対応しています。グラフでは直線を描きますが、この問題で使う番号は1、2、3……です。
問5｜10、13、16、19……のn番目
10、13、16、19……と、3ずつ増える数の並びがあります。同じ規則が続くとき、\(n\) 番目の数を、\(n\) を使った式で表しなさい。
1番目は10、1回に増える数は3です。4番目なら、10に3を3回加えるので、\(10+3\times3=19\) になります。
n番目までは3を \(n-1\) 回加えるので、
\(10+3(n-1)\)
\(=10+3n-3\)
\(=3n+7\)
答えは \(3n+7\)です。
1番目の10から、増える数の3を引いてみます。仮の0番目は \(10-3=7\) です。
0番目の7からn番目までは、3をn回加えるので、
\(7+3n=3n+7\)
と求められます。式の「+7」は、1番目の10をそのまま使ったものではなく、仮の0番目の数です。
番号を \(x\)、対応する数を \(y\) とします。番号が1増えると数が3増えるため、直線の式を \(y=3x+b\) と表せます。
1番目は10なので、\((1,10)\) を代入すると、
\(10=3\times1+b\)
\(b=7\)
したがって \(y=3x+7\)。n番目の数は \(3n+7\)です。切片7は、仮の0番目の数と一致しています。
2点 \((1,10)\)、\((2,13)\) を通る直線として求める場合は、\(y=ax+b\) に代入して、
\(a+b=10\)
\(2a+b=13\)
この2式から \(a=3\)、\(b=7\) と求められます。増える数が一定だと分かっているので、一次関数を使ってよいことを確認してから、この方法を使いましょう。
増える数が一定なら、2つの作り方を使い分けよう
1番目から考えるとき
n番目の数＝1番目の数＋増える数×\((n-1)\)
仮の0番目から考えるとき
仮の0番目＝1番目の数−増える数
n番目の数＝仮の0番目＋増える数×\(n\)
| 問題 | 1番目 | 増える数 | 1番目から作った式 | 答え |
|---|---|---|---|---|
| 問2 | 1 | 1 | \(1+(n-1)\) | \(n\) 個 |
| 問3 | 2 | 2 | \(2+2(n-1)\) | \(2n\) 個 |
| 問4 | 1 | 2 | \(1+2(n-1)\) | \(2n-1\) 個 |
| 問5 | 10 | 3 | \(10+3(n-1)\) | \(3n+7\) |
間違えやすいところと、式の確かめ方
1番目の数を、そのまま最後に足さない
問5を \(3n+10\) とすると、\(n=1\) のとき13になり、1番目の10と合いません。増やす回数をn回にするなら、出発点は仮の0番目の7です。
n＝1だけでなく、ほかの番号でも確かめる
式ができたら、1番目と4番目などを代入し、問題図や数列と一致するか確認します。問4なら \(2\times1-1=1\)、\(2\times4-1=7\) です。
ただし、いくつかの番号で一致しただけでは、どの番号でも正しいことの説明にはなりません。図のどこを数えたか、なぜその回数になるかを説明したうえで、代入を見直しに使いましょう。
増える数が一定か、先に調べる
例えば1、4、9、16……では、増える数が3、5、7……と変わります。このとき、ここまでの「同じ数を足す」方法は、そのままでは使えません。
まず数を書き出し、知っている平方数の並びなどに当てはまるかを考えます。それでも分からなければ、図を分ける・並べ替える・重複した分を引くなど、数え方を工夫します。増え方が一定でない問題は、関連する別の記事でも扱います。
答えを隠して、短時間で復習できるようにしよう
最初は時間をかけて、式の意味を理解してください。理解できたら解説を閉じ、上の4つの問題だけを見て、次のことを説明してみましょう。
- n番目の式を言う。
- 図から直接数える方法や、最初の数から足す方法を説明する。
- 問4・問5は、仮の0番目を使った式も言う。
- 一次関数を習っている人は、傾き・切片・通る2点を説明する。
つまずいたところだけ解説を開き直します。自分で説明できるようになった問題は、正確さを保ちながら、4問を復習する時間を少しずつ短くしていきましょう。
「理解した問題を、すぐ復習できる状態」に仕上げます。
答えだけを丸暗記するのではなく、図や並んだ数を見て、式の作り方を短い時間で思い出せるようにしましょう。
- 問2：\(n\) 個
- 問3：\(2n\) 個
- 問4：\(2n-1\) 個。1番目からなら \(1+2(n-1)\)、0番目からなら \(-1+2n\)。
- 問5：\(3n+7\)。1番目からなら \(10+3(n-1)\)、0番目からなら \(7+3n\)。
パターン別に学習したい&印刷したい方へ
「−1個の丸が実際にある」という意味ではありません。
同じ増え方を1つ前まで延ばして、式を作りやすくするための仮の数です。問題のnは1以上なので、実際の丸の個数は正の整数になります。