工夫して解く計算問題の難問【中学３年～高校入試問題】

にゃんこ

このページでは、中学３年の工夫して解く計算問題の難問だけを練習できます。

全25問一覧

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この問題&解答をプリントアウトしておきたい方は25問目の最後をご覧ください。（このテーマだけのドリル単品もあります）

工夫して解く計算問題の難問｜中学３年～高校入試問題レベル

(1) \(1111^{2}\times 3^{2}-3330\times 3336\)

解説(タップで開く)

3330は3333よりも3小さく、3336は3333よりも3大きい値です。また、1111×3も3333です。このことに気が付き、問題の式を3333を使って表してみると、その先の手順が見えてきます。

(2) \(146\times 148-151\times 302+1501+150^{2}\)

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先程の問題は3333を使う式へと変形して解きました。この問題の場合は何の値を使う式へと変形すればいいかを考えます。

(3) \({\small 211^{2}-335^{2}-189^{2}-243^{2}+365^{2}+257^{2}}\)

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【下一桁に注目する問題】２乗－２乗のかたちから因数分解する操作が思い浮かびます。けれども、与えられた式をそのまま因数分解するよりも、項をある規則にそって並び替えてからのほうが、実は簡単に計算できます。各項のそれぞれの下一桁の値に注目してみましょう。

(4) \(\dfrac{365^{2}-2\times 365\times 340+ 340^{2}}{125^{2}}\)

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乗法公式を理解しているかを確認させる問題です。文字式で暗記した公式を当てはめて考えます。

(5) \(\dfrac{121^{2}-12100}{33}\)

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分子の式に対し、共通因数でくくり出すということをします。また、121は11の２乗であることは暗記しておきましょう。このことを式変形の後半で使います。

(6) \(\dfrac{169-121}{169-22\times 13+121}\)

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121は11の２乗で、169は13の２乗です。問題の式を、11と13を使った表し方になおします。

(7) \(1.77^{2}+0.52^{2}-1.77\times 0.52\times 2-0.25^{2}\)

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問題の式の最初の\(1.77^{2}+0.52^{2}-1.77\times 0.52\times 2\)の部分を見て、乗法公式だと気が付くかどうかがポイントです。

(8) \(\dfrac{1234^{2}+2469}{1235}\)

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1234の倍は2468です。式の中にある2469はそれに＋１した値になっています。これに気が付き、問題の式を1234で表してみようと試します。

(9)

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各項の先頭にある12,6,12,24,36を見て、6でくくり出すことが思い浮かぶと思いますが、解説にあるように、12でくくり出す工夫をすると、計算がより簡単になります。

(10) \(243^{2}-2\times 365\times 243-123^{2}+365^{2}\)

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(7)で練習した最初の式変形を使う問題です。この問題のほうが、最初の式変形に少し気が付きにくい項の並びになっています。

(11) \(994^{2}+12\times 994+36\)

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最後の項である36が平方数(６の２乗)になっていることから、とりあえずその部分を６の２乗と書き変えてみましょう。そうすると、解説にあるような解き方に気が付きやすくなります。

(12) \(1.72^{2}+4\times 1.72\times 0.14+4\times 0.14^{2}\)

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２種類の文字に置き換えて工夫します。このように共通する値を文字式になおしてみると、因数分解に気が付きやすくなります。

(13) \(\dfrac{222-33}{111\times 444-11\times 99}\)

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111をa、11をbにおきかえて、aとbを使った式に変形します。つまり、222は2a、33は3bといった具合です。

(14) \(1365\times 1635-365\times 635\)

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別解(開く)

別解(開く)

別解のほうが解きやすい場合は、解きやすい解法を最初にマスターしてください。別解でなく、解説にある解き方に気が付くためには、1365と1635の平均である1500から、1365も1635もともに差が135だと気が付くことが始まりです。

(15) \(\dfrac{12345^{3}-2\times 24690}{12343\times 12347}\)

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これも(14)の解説の解き方の発想と似ている部分があります。式を12345で表すことを考えればいい分、こちらのほうが解法に気が付きやすいかもしれません。

(16) \(2026\times 2032-2029\times 2028\)

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(14)の発展版です。これは2026と2032の平均である2029を基準に考えると、解説のように解くことができます。2029を文字に置き換えて計算してもいいです。

(17) \(328\times 1433-322\times 1439\)

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328と322の値が近く、1433と1439の値が近い、ということに注目し、ここまでの問題にあったように、その平均を文字に置き換えた式になおします。難問です。

(18) \(1200^{2}-1389\times 1200+1189\times 200\)

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乗法公式による因数分解を意識しないと気が付きにくいパターンの問題です。この解法に気が付くためには、次の２つが重要になります。【１】最初に1200を文字に置きかえた式を作ってみる。【２】最後の項の1189×200を見て、その和が1389になっていると気が付く。

(19) \({\small 12.34\times 45.67+54.33\times 11.11+1.23\times 54.33}\)

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共通因数をくくり出す操作を繰り返して、小数の処理をしていくタイプの問題です。

(20) \(5035\times 5031-4970\times 4964-5\)

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5035と5031は、それぞれ5033から2離れたところにある値です。4970と4964も、それぞれ4967から3離れたところにあります。これに気が付くことで解説にあるような解き方になります。

(21)

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最初の式変形が一番ややこしいと思います。1×2×3×4をaとおくと、3×6×9×12はaを使ってどのように表せるだろうか、と考えることが、この解法の突破口です。

(22)

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先程の問題の「足し算でつながっているバージョン」です。10＋11＋12＋13をaとおくと他の部分はaを使ってどのように表せるかを考えます。

(23) \(\dfrac{22^{3}-11^{3}}{77}\)

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普通に解きたくなるほどシンプルな式ですが、工夫して解くと２桁の３乗の処理が不要になります。22も77も11の倍数なので、11を使って式を表すことを考えます。指数の処理と因数分解も混ざった問題です。

(24) \(11^{4}-11^{2}\times 120\)

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これもシンプルですが、工夫しないと計算が大変です。解説のように11の２乗でくくり出します。

(25) \(\left( 13^{3}-7\times 13^{2}-6^{3}-7\times 6^{2}\right) \div 42\)

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先程の問題の発想を使いこなす発展問題です。共通因数でくくり出して工夫します。

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まとめセットに追加した補足テーマです。

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